Silkroad Online Forum

Hi,
Die Zahl ist klassisch definiert durch das Verhältnis
pi = U / D = 3.141 592 653 ...
vom Umfang U zum Durchmesser D eines Kreises.
In der modernen Analyisis wird pi (u.a.) jedoch als erste positive Nullstelle der Cosinus-Funktion (pi/2) ersetzt (was die selbe Zahl ergibt ).
Bin mir nicht sicher nach was einer Aufgabe du suchst, aber man könnte des Einheitskreis in der GaußschenZahlenebene mit nem Polygrundzug approximieren, dann würde pi von umgeschriebenen und einbeschreibenen n-Eck "eingeschlossen":
n*sin(pi/n) < pi < n*tan(pi/n)

Hier mal zu T_n = n*sin(pi/n).
Mit nem bissel Wissen über den Sinus (Also Werte von T_1,T_2,...) und folgender rekursiven Berechnungsmethode:
T_(2n) = sqrt( 2n^2 - 2n sqrt( n^2 - (T_n)^2 ))
kann man dann pi näherungsweise Berechnen.
(Eine hochstwahrscheinlich nicht die beste Möglichkeit.)

mfg.

SerMoniz3R

// Hm.. hier nochwas:

Man betrachtet den Z^2 und eine Punktmenge A_n darin mit
A_n = { (x,y) in Z^2 | x^2 + y^2 <= n^2 }
Dann zählt man die Punkte und teilt die durch n^2.

// Ach wie konnt ich meinen persönlichen Leibling vergessen:
Wenn man eine Nadel der Länge l auf ein Papier fallen lässt, auf dem parallelen Linien im Abstand l gezogen sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel wenn sie liegt eine Linie berührt : 2/pi

Ich glaube kaum, dass irgendjemand in der Lage sein sollte, Pi besser erklären zu können, als diese gif hier.

Zitat von »SerMoniz3R«

Hi,
// Hm.. hier nochwas:

Man betrachtet den Z^2 und eine Punktmenge A_n darin mit
A_n = { (x,y) in Z^2 | x^2 + y^2 <= n^2 }
Dann zählt man die Punkte und teilt die durch n^2.

Hi,
Ich versuche diese Approximations-Methode mal deutlich zu machen:

Hier ist das Punktgitter Z^2 aufgezeichnet (der Einfachheit wegen, nur der erste Quadrant.) Dort hast du deine Punkte (schwarze Punkte) der Gestalt (x,y) mit x,y aus den ganzen Zahlen.
Die Punktmenge A_n sind dann die Punkte, welche kleineren Abstand zum Ursprung (0,0) haben, als n. Heißt also: Die Punkte die innerhalb eines Kreises mit Radius n mit Mittelpunkt (0,0) liegen. Das ist anders formuliert, x^2 + y^2 <= n^2.
sqrt(x^2 + y^2) ist ja das Standard-Skalarprodukt (sollte aus der Schule bekannt sein), welches die "Länge des Vektors" wiedergibt. Die muss kleiner.gleich n sein. Und die Gleichung quadriert ergibt obiges. Wenn du jetzt für n einfach immer größere Werte eingibst, kannst du so pi approximieren (ist allerdings keine besonders gute Methode).

Mal an einem Beispiel:
Auf meinem kleinen Bild, ist n zufälligerweise 11. Zählen wir jetzt die Anzahl der Punkte (ausgenommen den Achsen), so sind das 85(richtig gezählt?). Das entspricht anders interpretiert auch der Anzahl der Quadrate (mit Seitenlänge 1) innerhalb des (Viertel-)Kreises. Das ganze mal 4, für den gazen Kreis: 340. Das ist dann unser grob geschätzter Flächeninhalt A des Kreises mit Radius n=11.
Dann gilt nach A = pi*r^2:
pi = A / (r^2) = 340 / 121 = 2,809917355
Wie du siehst ist der Fehler noch recht groß. Bei größeren Radien n wird der dann zwar kleiner, aber nicht besonders schnell :/ (vllt. hab ich auch irgendwo nen kleinen Zähl-fehler, aber die Idee wird vllt. deutlich.)

mfg.

SerMoniz3R

//
Nach obiger Methode: (erster Wert ist Radius n)
2 -> pi: 1
4 -> pi: 2
8 -> pi: 2.5625
16 -> pi: 2.85938
32 -> pi: 3.00781
64 -> pi: 3.0752
128 -> pi: 3.10791
256 -> pi: 3.12555
512 -> pi: 3.13348
1024 -> pi: 3.13759
2048 -> pi: 3.13962
4096 -> pi: 3.1406
8192 -> pi: 3.1411
16384 -> pi: 3.14135

hi,

wir hatten das damals ähnlich gemacht.... Is schon ziemlich lange her und ich weiß deswegen nich mehr genau wies war aber ich glaub
unser Mathelehrer hat uns die aufgabe gegeben erst ein sechseck zu zeichnen und dann sollten wir da immer mehr ecken reinzeichnen und frag mich nich wie...irgendwie sind wir nachher auf die ungefähre zahl 3,14 gekommen
...ne andere möglichkeit is excel...dafür brauchste aber bestimmte formeln und so...hat mein vorgänger aber auch schon beschrieben

mfg

oder im Taschenrechenr einfach pi und dann gleich drücken und dann haste auch das ergebniss? o:
Geht auch bei dem Windows rechner.

Zitat von »lachnicht«

oder im Taschenrechenr einfach pi und dann gleich drücken und dann haste auch das ergebniss? o:
Geht auch bei dem Windows rechner.

Die Frage ist, wie man auf Pi kommt, nicht was Pi ist.

also ich weiß nich obs weiterhilft oder ob du selbst schon drauf gekommen bist...aber gidf...
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